[수리통계학] 적률과 MGF (적률생성함수) - mgf 왜 쓸까?

적률, 모멘트은 수학에서 함수의 모양을 나타내는 척도를 의미합니다. 적률은 물리학에서도 쓰이고 통계학에서도 쓰인다고하는데요.
물리학에서 적률은 어떤 물리량과 거리의 곱을 나타낸다고합니다. 1차 적률은 질량이고, 2차적률은 질량중심이고 3차적률은 관성모멘트 이런식으로 쓰인다고합니다.
적률은 수학에서 적률이 먼저정의되고 후에 통계학,물리학에서 쓰이게 된 것이 아니라
물리학과 통계학에서 각각 적률에 상응하는 개념이 존재했고, 후에 수학에서 정의된 적률과 개념이 일치했다는 것 이 발견된 것 이라고 합니다.

수학에서 적률은 함수를 나타내는 척도를 의미하며, 뮤 엔으로 표현하고 n은 적률의 차수 입니다.

일반적으로 별다른 언급이 없으면 c = 0을 의미합니다.

 

통계에서 함수는 pdf ,pmf이므로 위의 수학에서의 적률의 정의에서 함수를 pdf로 바꿔보면 적률은 기댓값이 됩니다.

c = 0인 것이 일반적인 상황이므로 일반적으로 말하는 적률은 비중심 적률을 말합니다.

 

자세히 살펴보면 1차 적률은 평균이고, 2차적률은 제곱한 것들의 평균입니다.

 

여기서 눈치를 챌 수 있는데

만약 확률변수를 유일하게 결정하는 적률을 생성하는 함수가 있다면 평균과 분산을 증명할 수 있을 것입니다!

 

 

적률 생성함수의 정의는 다음과 같습니다.

t의 절대값이 양수 b보다 작은 구간에서 mgf가 무한대가 아니어야 합니다. 이 조건은 mgf가 무한대가 되지않는 구간이 있어야한다고 생각하면 됩니다.

 

 

'적률생섬함수의 유일성'

적률 생성함수는 확률 분포를 유일하게 결정합니다. 하나의 mgf에 대응 되는 확률 분포는 오직 하나가 존재합니다.

 

 

적률생성함수는 왜 쓰는가?

적률생성함수 MGF를 t에 대해서 k번 미분하고, t대신 0을 대입하면 k차 적률이 나옵니다. 이 성질을 이용해 우리는 적률을 생성할 수 있습니다. 

mgf는 그 확률변수를 유일하게 결정하고,

mgf로 적률을 생성할 수 있고,

어떤 확률변수의 평균이나 분산을 적률로 구할수있으므로

이 성질을 이용해서 우리는 mgf를 평균과 분산을 증명하는 데 사용 할 수 있습니다.

또한 mgf는 그 확률변수를 유일하게 결정하므로 어떤 확률변수가 특정한 확률 분포를 갖는다는 것을 증명할 때  mgf를 사용할 수 있습니다.

 

 

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그럼 mgf의 성질1- (t에 대해서 k 번 미분하고, t대신 0을 대입하면 k차 적률이 나온다.) 을 확인해보겠습니다.

이때 매크롤린 급수가 사용되므로 간단히 복습을 해보겠습니다. 매크롤린 급수를 사용하면 다루기 어려운 함수를 다항함수 꼴로 나타낼 수 있습니다.

먼저 매크롤린 급수를 이용하여 mgf를 다항식 꼴로 나타낼 수 있습니다.

다항식 꼴로 나타낸 mgf를 t에 대해 한 번 미분해서 t대신 0을 대입해본 결과 1차 적률이 나온다는 것을 확인할 수 있습니다.

다음으로 한번 더 미분해서 t대신 0을 대입해보면 2차 적률이 나오는 것을 확인할 수 있습니다. 

이를 일반화하면 k 번 미분했을 때 k차 적률이 나온 다는 것을 확인할 수 있습니다.