[수리통계학] 분할 / 전확률공식 / 베이즈 정리

1. 각각의 사건을 다 합하면 표본공간이 나오고

2. 각각이 다 배반사건일 때 

이 집합들의 모임 {B1,B2,...,Bk}을 표본공간의 분할(partition)이라고 한다.

 

전확률 공식(law of total probability)은 조건부 확률로 부터 조건이 붙지 않은 확률을 계산할 때 쓸 수 있다. 

전확률 공식은 {B1,B2,...,Bk}을 표본공간의 분할(partition)에서 내 관심사건 A가 일어날 확률을 구할 때 사용하는 공식이다.

1. 각 조각의 비중을 구하고, P(Bn)

2. 각 조각에서 내 관심사인 A가 일어날 확률을 곱해서, P(A|Bn)

3. 모두 더한다.

 

베이즈 정리 (Bayes' theorem)은 어떤 정보 E가 들어왔을 때 사전확률을 update해서 사후 확률을 update하는 방법을 말한다. 즉, 두 확률변수의 사전 확률과 사후 확률 사이의 관계를 나태내는 정리이다. 

 

분할로 나타낼 수 있는 표본공간에서 E라는 사건이 일어났을 때 그 사건이 특정 토막에서 일어났을 확률을 말한다.

 

베이즈 정리에 따라 사전확률로부터 사후확률을 구할 수 있다.

베이즈정리의 증명은 위와 같다.

먼저 조건부 확률의 정의를 쓴다음 분자는 곱의 법칙으로 나타내고, 분모는 전확률 공식으로 나타낸다.

이때 사후확률이 사전확률 x likelihood에 비례하는 것을 알 수 있다.

사전확률에서 E라는 정보가 들어왔을때 그 가능성을 곱하면 사후확률이 나오는 것이다.

 

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mathematical statistics with applications 예제 2.23번 풀이